原标题：量子隧穿效应是怎样的？《张朝阳的物理课》计算方势垒隧穿概率

什么是α衰变？α衰变会怎么影响人的身体？为什么在量子力学中粒子可以穿过势垒？怎么计算隧穿概率？

4月14日12时，《张朝阳的物理课》第一百三十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先定性地介绍了原子核模型，并从强力、库仑力的互相抗衡出发解释了原子核的稳定性以及为什么原子核会衰变出氦核等问题。定性介绍完原子核相关的内容之后，张朝阳转而计算了具有特定动量、能量的粒子在方形势垒上的隧穿概率。

库仑力胜于强相互作用 原子核变得不稳定

在上一次直播课中，张朝阳计算了粒子的平面波遇到无穷宽势垒台阶后的情况，发现当粒子能量小于势垒高度时，粒子虽然会渗透进势垒内一部分，但是最终依然会被反射回来。张朝阳转而强调，当势垒的宽度是有限宽的时候，粒子将有可能穿透过去，这就是量子隧穿效应。在经典力学层面，如果粒子能量小于势垒高度，那么无论势垒宽度多小，粒子（看成质点）是无法穿过势垒的，因此隧穿效应是一种量子效应。

量子隧穿的一个典型例子就是原子核的α衰变。张朝阳介绍说，矿石中含有一部分钍-230，它会经过α衰变成为镭-226，半衰期长达七万多年；而镭-226的主要衰变道也是α衰变，半衰期约为1600年，经过α衰变后镭-226会变成氡-222。氡-222也是不稳定的，它会经过α衰变变成钋-218，半衰期仅为3.8天。

原子核发生α衰变之后会放射出α粒子，也就是氦核。一般来说，我们的皮肤对低能的α粒子具有足够的防护作用，因此环境外的α衰变几乎不会对人体有什么影响。但是氡是一种气体，它混合在空气中会被人呼吸进肺里边，并且在呼出来之前就有可能发生α衰变了，衰变产生的α粒子会破环肺部细胞的结构，进而引发病变。

同时，氡衰变链中的最终产物是铅，它也会对人体健康构成威胁。据统计，氡气是第二大肺癌诱因，仅次于吸烟。因此，张朝阳建议网友们要经常开窗通风，降低室内的氡气浓度。

介绍完α衰变对人体健康的危害之后，张朝阳开始定性分析为什么原子核会发生α衰变。张朝阳介绍说，原子核由质子、中子组合而成，中子是不带电的，质子带有正电，因此质子之间会相互排斥。但是，除了库仑力之外，核子之间还存在强相互作用导致的核力，这些核力会抵抗住库仑力，紧紧地将核子们束缚在一块，形成原子核。所以说，强相互作用是原子核的粘合剂。

但是，强相互作用是短程力，原子核中的一个核子几乎只受到它邻近核子的核力，离得远的核子的核力可以被忽略。这就意味着随着原子核中核子数的增加，单个核子受到的核力大小几乎维持不变。

另一方面，库仑力是长程力，单个质子会受到原子核内部其他所有质子的排斥力，因此随着核子数增加（质子数也会大约成比例地增加），单个质子受到的库仑力会近似线性增加。因此，当原子核的核子数增大到一定程度之后，核力将无法与库仑力抵消，最终会导致原子核衰变。

为什么原子核衰变出来的小核素大多是α粒子呢？这是因为氦核的结合能很大，同时核子数又很少。我们可以把原子核内部的核子看成是自由的，它们有时候会组合成团，如果不考虑结合能的话，必然是核子数越小的团越容易出现；考虑结合能之后，则结合能越大的核素其能量越低，从而更容易成团——这就好比力学系统的稳定点是势能局部最低点那样。这两种因素综合起来就会导致氦核最容易在原子核中“出现”，所以原子核衰变出来的小核素大多是α粒子。

（张朝阳解释原子核的α衰变）

分析波函数边界条件 计算平面波在方势垒上的隧穿概率

为了在下一次直播课中介绍α衰变概率的计算，张朝阳在这一次直播课中推导了具有特定能量、动量的粒子在方形势垒情况下的隧穿概率。为此，张朝阳考虑了如下图所示的势垒：

其中Ⅱ处区域是势垒的位置，区间为[0,l]，这里的l是势垒的宽度，势垒的高度为V。质量为m的粒子以能量E从Ⅰ处向右入射，E<V。根据前面几次直播课的知识，可以知道在Ⅰ处的粒子波函数为

其中波函数的第二部分表示势垒导致的反射波。

在Ⅱ处区域，由于E<V，所以粒子波函数为

由于这里的势场是有限大小的，因此波函数以及波函数的导数都是连续的，考虑x=0处的波函数，我们就能得到这两个区域的波函数的系数所满足的条件为

我们定义β=ik/α，这样就有

将其与式子A+B=C+D相加可以得到A为

由于Ⅲ区不存在向左传播的波，于是这里的波函数为

张朝阳强调，因为我们已经使用E表示能量了，所以Ⅲ区的波函数系数用F来表示。与前面类似，考虑x=l处的波函数，可以得到波函数系数满足

定义

借助β=ik/α，我们可以将Ⅱ、Ⅲ区波函数系数满足的条件简化为

从中可以解出C1与D1为

这样我们就可以将系数A的表达式中的C、D化成F了：

考虑到双曲正弦函数与双曲余弦函数的定义：

于是系数A可以被改写为

其中已经代入了β的定义式。根据上式，并使用平面波的概率流公式可以得到粒子隧穿到Ⅲ区的概率为

利用双曲正弦、双曲余弦满足的关系式：

可以将T的表达式改写为

接下来我们使用α与k的定义，可以得到

将它们代入T的表达式，消去分子分母的共同因子可得

这就是张朝阳最终得到的粒子穿过方形势垒的概率。

（张朝阳推导得到粒子在方形势垒的隧穿概率）

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

本节课相关视频如下：

量子隧穿效应

原子核的结构

α衰变的原理

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